DCモータの状態方程式 - sekky0816’s blog

みなさんこんにちは，関口叡範です．
本稿では，DCモータの状態方程式について解説します．
ブラシ付きDCモータ（永久磁石界磁型）のシステムモデルは下図のように表される．

f:id:sekky0816:20181111145546j:plain — DCモータのシステムモデル（無断転載禁止）

以降で示す数式は上図を参考にしながら追ってください．

減速機の減速比を ${G}$ とする．このとき，
DCモータ出力軸（減速機入力軸）のトルク ${\tau_{\rm m}(t)}$ ・角度 ${\theta_{\rm m}(t)}$ ・角速度 ${\omega_{\rm m}(t)}$ と，
減速機出力軸のトルク ${\tau(t)}$ ・角度 ${\theta(t)}$ ・角速度 ${\omega(t)}$ の関係は次のようなる．

　　　 ${\tau(t) = G \ \tau_{\rm m}(t) }$
　　　 ${\theta(t) = G^{-1} \ \theta_{\rm m}(t) }$
　　　 ${\omega(t) = G^{-1} \ \omega_{\rm m}(t) }$

また，トルク定数 ${K_{\rm \tau}}$ と逆起電力定数 ${K_{\rm e}}$ は等価であるから，まとめて

　　　 ${K := K_{\rm \tau} = K_{\rm e}}$

とする．このとき，DCモータ出力軸のトルク ${\tau_{\rm m}(t)}$ と逆起電力 ${e(t)}$ は次のように表される．

　　　 ${ \tau_{\rm m}(t) \ = \ K_{\rm \tau} \ i(t) \ = \ K \ i(t) \quad }$ （トルクは電流に比例）
　　　 ${ e(t) \ = \ K_{\rm e} \ \omega_{\rm m}(t) \ = \ K \ \omega_{\rm m}(t) \quad }$ （逆起電力は角速度に比例）

上式より，DCモータの印加電圧 ${u(t)}$ は次のように表される．

　　　 $u(t) = Ri(t) + K G \omega(t) + L \frac{{\rm d}i(t)}{{\rm d}t}$

上式を変形すると

　　　 $\frac{{\rm d}}{{\rm d}t}i(t) = -\frac{KG}{L}\omega(t) - \frac{R}{L} i(t) + \frac{1}{L}u(t)$

となる．次に，剛体（図中の黒い円盤）に負荷されるトルク ${\tau_{\rm e}(t)}$ を

　　　 $\tau_{\rm e}(t) = I \dot{\omega}(t) + D \omega(t) + \tau_{\rm g}(t)$

とおく．上式に含まれる $I$ は慣性を表し， $D$ は粘性を表す． $\tau_{\rm g}(t)$ は慣性・粘性以外の負荷を表す． $I, D, \tau_{\rm g}(t)$ はモータの用途に応じて適宜定めるものであり，例えば，無負荷時の場合は， $I = 0,\ D = 0,\ \tau_{\rm g}(t) = 0$ とする．
また，減速機出力軸に取り付けられている剛体（黒い円盤）の慣性モーメントを ${ J }$ とすると，機械的特性を表す運動方程式は次のようになる．

　　　 ${ \tau(t) = J \dot{\omega}(t) + \tau_{\rm e}(t) = (J + I ) \dot{\omega}(t) + D \omega(t) + \tau_{\rm g}(t) }$

${ \tau(t) = KG \ i(t) }$ であるから，上式は次のように変形できる．

　　　 $\frac{{\rm d}}{{\rm d}t}\omega(t) = - \frac{D}{J + I} \omega(t) + \frac{KG}{J + I}i(t) + \frac{\tau_{\rm g}(t)}{J+I}$

よって，次のような状態方程式が得られる．

　　　 $\displaystyle \frac{{\rm d}}{{\rm d}t} \begin{bmatrix} \theta(t) \\ \omega(t) \\ i(t) \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \ 0 & 1 & 0 \\ \ 0 & - \dfrac{D}{J + I} & \dfrac{KG}{J + I} \\ \ 0 & - \dfrac{KG}{L} & - \dfrac{R}{L} \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \theta(t) \! \\ \omega(t) \! \\ i(t) \! \\ \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ \dfrac{1}{L} \\ \end{bmatrix} u(t) - \begin{bmatrix} 0 \\ \dfrac{ \tau_{\rm g}(t)}{J + I} \\ 0 \end{bmatrix}$

ここで，

　　　 $\displaystyle \boldsymbol{x}(t) = \begin{bmatrix} \theta(t) \\ \omega(t) \\ i(t) \\ \end{bmatrix} , \quad A = \begin{bmatrix} \ 0 & 1 & 0 \\ \ 0 & - \dfrac{D}{J + I} & \dfrac{KG}{J + I} \\ \ 0 & - \dfrac{KG}{L} & - \dfrac{R}{L} \\ \end{bmatrix}$

　　　 $\boldsymbol{b} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ \dfrac{1}{L} \\ \end{bmatrix} , \quad \boldsymbol{d}(t) = \begin{bmatrix} 0 \\ \dfrac{ \tau_{\rm g}(t)}{J + I} \\ 0 \end{bmatrix}$

とすると，状態方程式は

　　　 $\dfrac{{\rm d}}{{\rm d}t} \boldsymbol{x}(t) = A \boldsymbol{x}(t) + \boldsymbol{b} u(t) - \boldsymbol{d}(t)$

と表される．

この状態方程式を実用する際には，端子間インダクタンス $L$ がモータの温度によって変化し易いことと， $L$ は他のパラメータと比べて非常に小さい場合が多く， $L \fallingdotseq 0$ であることが難点として挙げられる．